Métodos potenciales de prospección, FCAG, 2024.
Cargamos el dato sintético, el cual consiste de $200\times 200$ coordenadas de observación $x_i,y_i$ (m) y los valores de la anomalía magnética total (TFA) $\Delta T_i$ (nT). El dato posee además ruido aditivo de amplitud 20 nT.
x, y, T = np.loadtxt("mag-sintetico.dat").T # x [m], y [m], T [nT]
nx, ny = 200, 200
x = np.reshape(x, (ny,nx))
y = np.reshape(y, (ny,nx))
T = np.reshape(T, (ny,nx))
...
dx = (x.max()-x.min())/(nx-1) # intervalo de muestreo en X.
dy = (y.max()-y.min())/(ny-1) # intervalo de muestreo en Y.
...
print(f"dx ={dx} [m], dy = {dy} [m]") # imprimo por pantalla parámetros de interés.
...
plt.contourf(y, x, T, 100, cmap="inferno") # visualización.
dx = 502.51 [m], dy = 502.51 [m]
Graficamos el mapa de anomalía total $\Delta T$.
continental pasivo. Se aprecia una intrusión ígnea sobre la corteza oceánica (región $y>0$), la delineación del límite de la corteza oceánica y continental ($y=0$) y un dique atravesando la parte superficial de la corteza continental ($y<0$).
Procesamos la cuadrícula de anomalías en el dominio de Fourier para calcular el mapa de derivada primera vertical $\frac{{\partial}\Delta T}{{\partial}z}$ y derivada segunda vertical $\frac{{\partial}^2\Delta T}{{\partial}z^2}$. Para ello, utilizamos las identidades $$\mathcal{F}\{\dfrac{{\partial}^{n}\phi}{{\partial}z^n}\}=|k|^{n}\mathcal{F}\{\phi\},$$ para $n=1,2$.
Estas propiedades se cumplen para un campo potencial $\phi$. La derivada primera vertical puede obtenerse de considerarse la continuación ascendente. La derivada segunda vertical puede deducirse como consecuencia de ser $\phi$ un potencial armónico: $\Delta \phi = 0$.
Para realizar el procesamiento, pueden realizarse los siguientes pasos:
kx = ... # número de onda en X dimensional [1/m]
ky = ... # número de onda en Y dimensional [1/m]
kr = ... # número radial de onda dimensional [1/m]
order = 1
T_F = np.fft.fft2(T)
dTdz_F = T_F * kr ** order
dTdz = np.real(np.fft.ifft2(dTdz_F)) # derivada primera vertical [nT/m]
...
dTdz_2 = ... # derivada segunda vertical [nT/m2]
Visualizamos los resultados.
El mapa ${\partial_z}{\Delta}T$ presenta una mejor delineación de los cuerpos. También observamos que la delineación de ${\partial^2_z}{\Delta}T$ es más localizada, pero el mapa es mucho más sensible al ruido presente en $\Delta T$. Por ejemplo, el dique que atraviesa la corteza continental queda enmascarado por el ruido en el mapa ${\partial^2_z}{\Delta}T$.
¿Cómo podríamos reducir el efecto observado en los bordes de los resultados?
Calculamos el atributo de gradiente total, magnitud del gradiente o magnitud,
$$\text{gt}(x,y)=\sqrt{{\partial_x}{\Delta}T^2+{\partial_y}{\Delta}T^2+{\partial_z}{\Delta}T^2},$$operando en el dominio de Fourier. Para ello aplicamos las relaciones
\begin{align} \mathcal{F}\{\frac{{\partial}\phi}{{\partial}x}\} &= ik_x\mathcal{F}\{\phi\};\\ \mathcal{F}\{\frac{{\partial}\phi}{{\partial}y}\} &= ik_y\mathcal{F}\{\phi\}; \\ \mathcal{F}\{\frac{{\partial}\phi}{{\partial}z}\} &= |k|\mathcal{F}\{\phi\}. \end{align}
¿Cómo podríamos reducir el efecto observado en los bordes del resultado?
Eso es todo por hoy.